確率密度の計算 dnorm() qnorm()

オブジェクト wdf はこちらから。

以下のようなデータの集合があったとする。また、そのヒストグラムを示す。

> wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1]

[17]  0.0711926070 -0.0854386059  0.0094247436  0.0030609850  0.0432560109  0.0165413246  0.0213577174  0.0673432082
[25]  0.0222028328  0.0003197991 -0.0197827495  0.0095648204 -0.0217844120  0.0101077662  0.0070690542  0.0104836274
[33]  0.0317760404 -0.0003202381  0.0400974724  0.0069337016  0.0079165671  0.0134314222  0.0591259963  0.0563752866
[41]  0.0410094415  0.0180991114  0.0751759043  0.0075738342  0.0810441069  0.0508987097  0.0113222145 -0.0001427142
[49]  0.0359682872 -0.0112221049  0.0936167706  0.0998248066  0.0531659206  0.0085731462  0.0425385266 -0.0199458599
[57]  0.0028183707  0.0069545273 -0.0158576835  0.0236426721  0.0244524103  0.0144061834  0.0023497169  0.0353730253

その時平均と分散はそれぞれmean()とsd()によって算出される。

> mean(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1])
[1] 0.02359295
> sd(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1])
[1] 0.03504609

念のため、シャピロウイルク検定を実施する。このテストの帰無仮説は「正規分布は成立している」だから注意すること。結果は9.5%の確率で正規分布が成立することになる。あまり良い値ではない。

> shapiro.test(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1])

Shapiro-Wilk normality test

data:  wdf[, 3][wdf[, 2] > -0.5 * pi & wdf[, 2] < 1]
W = 0.96799, p-value = 0.095



平均と分散が判明すればそれに応じて確率を計算することが可能になる。

 下方累積確率 = pnorm(標本値、平均、分散)

> pnorm(0,mean(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1]), sd(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1]))
[1] 0.2504107

正規分布に従えば、平均と分散が上に示された集団で標本の値が0以下となる確率は25.04%となる。

> pnorm(0.02359295,mean(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1]), sd(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1]))
[1] 0.5

また、値が0.02359295以下となる確率は50％である。また逆に確率からありうべき標本の値を計算することも可能になる。確率50％を期待できるのは、無限小から0.02359295までの累積となる。

想定標本値= qnorm(下方累積確率、平均、分散)

> qnorm(0.5,mean(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1]), sd(wdf[,3][wdf[,2] > -0.5*pi & wdf[,2] < 1]))
[1] 0.02359295